46. Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{matrix}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{matrix}\right.$ , vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
Bài Làm:
a) Tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{matrix}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{matrix}\right.$
nên tàu A di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{u1}=(36;8)$
Vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)
Hay tàu B di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{u2}=(8;-36)$
Ta thấy $\overrightarrow{u1}$ x $\overrightarrow{u2}$=36 x 8 + 8 x (-36) nên $\overrightarrow{u1}$ vuông góc với $\overrightarrow{u2}$
Vì vậy hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.
b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t giờ là: M(7 + 36t; – 8 – 8t)
Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t giờ là: N(9 + 8t; 5 – 36t).
Suy ra $\overrightarrow{MN}=92-28t;13-44t)$
$\Rightarrow MN=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{(2-28t)^{2}+(13-44t)^{2}}$
$=\sqrt{2720(t-\frac{157}{680})^{2}+\frac{4761}{170}}\geq \sqrt{\frac{4761}{170}}\approx 5.29$ km
Vậy MN nhỏ nhất là 5,29km khi t = $\frac{157}{680}$ giờ.