3. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm A(2; 3).
a) Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x).
b) Vẽ parabol này.
c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b), hãy cho biết khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và tập giá trị của hàm số y = f(x).
d) Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình $\frac{f(x)}{x-2}\geq 0$ .
Bài Làm:
a) Parabol có đỉnh là I(1; 4) nên có phương trình dạng $y = a(x – 1)^{2} + 4.$
Vì điểm A(2; 3) thuộc parabol nên ta có:
$3 = a(2 – 1)^{2} + 4 ⇔ a + 4 = 3 ⇔ a = – 1.$
Vậy tam thức bậc hai cần tìm là $f(x) = –(x – 1)^{2}+ 4$ hay $f(x) = – x^{2} + 2x + 3.$
Suy ra các hệ số là: a = – 1; b = 2; c = 3.
b) Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Đỉnh parabol là I(1; 4).
Trục đối xứng x = 1.
Giao điểm của parabol với trục Oy là (0; 3). Điểm đối xứng với điểm (0; 3) qua trục đối xứng x = 1 là (2; 3).
Giao điểm của parabol với trục Ox là (– 1; 0) và (3; 0).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
c) Từ đồ thị trên ta thấy:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).
- Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 4].
d) Xét bất phương trình $\frac{f(x)}{x-2}\geq 0$ , hay $\frac{-x^{2}+2x+3}{x-2}\geq 0$ .
Tam thức $f(x) = – x^{2} + 2x + 3$ có $∆' = 12 – (– 1) \times 3 = 4 > 0$ và a = – 1 < 0, f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 và x2 = 3. Do đó, f(x) > 0 với mọi x ∈ (– 1; 3) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞).
Ta có bảng xét dấu sau:
| x | – ∞ – 1 2 3 + ∞ |
| f(x) | – 0 + | + 0 – |
| x – 2 | – | – 0 + | + |
| $\frac{f(x)}{x-2}$ | + 0 – || + 0 – |
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (– ∞; – 1] ∪ (2; 3].