7.55. Cho tam giác ABC với A(1; –1), B(3; 5), C(–2; 4).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.
Bài Làm:
a) Ta có $\overrightarrow{AB}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ $\overrightarrow{u}=(1;3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của AB.
Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận $\overrightarrow{u}=(1;3)$ là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{matrix}x=1+t\\ y=-1+3t\end{matrix}\right.$
b) Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{BC}=(−5;−1)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.
Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{BC}=(5;1)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
5(x – 1) + 1(y + 1) = 0
⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0
⇔ 5x + y – 4 = 0.
c) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=(−5;−1)$ là một vectơ chỉ phương nên BC nhận $\overrightarrow{n'}=(1;−5)$ là một vectơ pháp tuyến.
Do đó phương trình đường thẳng BC là:
1(x – 3) – 5(y – 5) = 0
⇔ x – 3 – 5y + 25 = 0
⇔ x – 5y + 22 = 0.
Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là:
$d(A,BC)=\frac{|1-5\times (-1)+22|}{\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$
d) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là:$\overrightarrow{AB}=(2;6),\overrightarrow{AC}=(−3;5).$
Khi đó
$cosα=∣cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{AC}|}=\frac{|2\times (-3)+6\times 5|}{\sqrt{2^{2}+6^{2}}\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{85}}$
Do α là góc giữa hai đường thẳng nên sinα > 0.
Lại có $sin^{2}α + cos^{2}α = 1.$
$⇒sinα=\sqrt{1-cos^{2}α}=\frac{7}{\sqrt{85}}$