9.15. Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.
Bài Làm:
Xét tam giác ABD có:
M là trung điểm của AD, DU đi qua trung điểm AB
=> BM và DU là 2 đường trung tuyến của tam giác
Mà BM cắt DU tại U
=> U là trọng tâm tam giác ABD.
=> $BU=2UM=\frac{2}{3}BM$ (1)
Xét tam giác ACD:
M là trung điểm của AD, DV đi qua trung điểm AC
=> CM và DV là 2 đường trung tuyến của tam giác
Mà CM cắt DV tại V
=> V là trọng tâm tam giác ACD.
=> $CV=2MV=\frac{2}{3}MC$ (2)
Mà M là trung điểm BC
=> MB = MC
Lại có: $UV = UM + MV = \frac{1}{3}BM+\frac{1}{3}CM=\frac{1}{3}BM+\frac{1}{3}BM=\frac{2}{3}BM$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
BU = UV = VC.