Bài tập 2.27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
Bài Làm:
Trả lời:
Đường thẳng $d_{1}$: y = -1 là đường thẳng song song với trục Ox đi qua điểm có tung độ bằng -1
Chọn điểm O(0; 0) $\notin$ $d_{1}$ và thay vào y ta được 0 > -1
Miền nghiệm của bất phương trình y $\geq$ -1 là nửa mặt phẳng bờ $d_{1}$ chứa điểm O(0; 0)
Đường thẳng $d_{2}$: y = 1 là đường thẳng song song với trục Ox đi qua điểm có tung độ bằng 1
Chọn điểm O(0; 0) $\notin$ $d_{2}$ và thay vào y ta được 0 < 1
Miền nghiệm của bất phương trình y $\leq$ 1 là nửa mặt phẳng bờ $d_{2}$ chứa điểm O(0; 0)
Vẽ đường thẳng $d_{3}$: x + y = 4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (4; 0)
Chọn điểm O(0; 0) $\notin$ $d_{3}$ và thay vào biểu thức x + y ta được 0 < 4
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y $\leq$ 4 là nửa mặt phẳng bờ $d_{3}$ chứa điểm O(0; 0)
Vẽ đường thẳng $d_{4}$: y - x = 4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (-4; 0)
Chọn điểm O(0; 0) $\notin$ $d_{1}$ và thay vào biểu thức y - x ta được 0 < 4
Miền nghiệm của bất phương trình y - x $\leq$ 4 là nửa mặt phẳng bờ $d_{1}$ chứa điểm O(0; 0)
Miền nghiệm của hệ bắt phương trinh đã cho là hình thang ABCD với A(-5; -1), B(5; -1), C(3; 1) và D(-3; 1).
Tính giá trị của F tại các đỉnh ta được:
F(-5; -1) = 2 . (-5) + 3 . (-1) = -13
F(-3; 1) = 2 . (-3) + 3 . 1 = -3
F(3; 1) = 2 . 3 + 3 . 1 = 9
F(5; -1) = 2 . 5 + 3 . (-1) = 7
Khi đó giá trị nhỏ nhất của F(x; y) là F(-5; -1) = -13 và giá trị lớn nhất là F(3; 1) = 9.