Bài tập 3.15. Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn $\frac{sin A}{1} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{\sqrt{3}}$. Tính số đo các góc của tam giác.
Bài Làm:
Trả lời:
Áp dụng định lí sin ta có:
$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$
$\Rightarrow sin A = \frac{a}{2R}$, $sin B = \frac{b}{2R}$, $sin C = \frac{c}{2R}$
Đề bài có $\frac{sin A}{1} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{\frac{a}{2R}}{1}=\frac{\frac{b}{2R}}{2}=\frac{\frac{c}{2R}}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}}$
Giả sử $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ = t
Suy ra a = t, b = 2t, c = $\sqrt{3}$t
Suy ra $a^{2} = t^{2}$, $b = 4t^{2}$, $c = 3t^{2}$
Có $a^{2} + c^{2} = b^{2} = 4t^{2}$
Áp dụng định lí Pytago đảo của tam giác ABC vuông tại B ta có: sin B = 1
$\Rightarrow \frac{sin A}{1} = \frac{1}{2} = \frac{sin C}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow sin A = \frac{1}{2}$ và sin C = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Như vậy $\widehat{A} = 30^{o}$, $\widehat{B} = 90^{o}$, $\widehat{C} = 60^{o}$