Bài tập 3.7. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $45^{o}$, $\widehat{C}$ = $30^{o}$ và c = 12.
a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.
Bài Làm:
Trả lời:
a) Độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
Áp dụng định lí sin ta có:
a = $\frac{c}{sinC}$ . sinA = $\frac{12}{sin30^{o}}$ . $sin45^{o}$ = $\frac{12}{\frac{1}{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $12\sqrt{2}$
Có $\widehat{A}$ = $45^{o}$, $\widehat{C}$ = $30^{o}$ nên
$\widehat{B}$ = $180^{o}$ - $45^{o}$ - $30^{o}$ = $105^{o}$
Mà $sin105^{o}$ = $sin60^{o}$ + $sin45^{o}$
Như vậy b = $\frac{c}{sinC}$ . sinB = $\frac{12}{sin30^{o}}$ . ($sin60^{o}$ + $sin45^{o}$)
= $\frac{12}{\frac{1}{2}}.(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})$ = $6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
b) Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:
R = $\frac{c}{2sin{C}}$ = $\frac{12}{2sin30^{o}}$ = $\frac{12}{2.\frac{1}{2}}$ = 12
c) Diện tích của tam giác là:
S = $\frac{1}{2}bc sinA$ = $\frac{1}{2}.6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).12.sin45^{o}$ = $\frac{1}{2}.6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).12.\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $36(\sqrt{3}+1)$
d) Độ dài các đường cao của tam giác.
Áp dụng công thức S = $\frac{1}{2}a.h_{a}$
Như vậy ta có:
$h_{a}$ = S : $\frac{1}{2}a$ = $3\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
$h_{b}$ = S : $\frac{1}{2}b$ = $6\sqrt{2}$
$h_{c}$ = S : $\frac{1}{2}c$ = $6(\sqrt{3}+1)$