Bài tập 3.16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a. $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$
b. $MA^{2}+MB^{2}-AB^{2}=2MA.MB.cos\widehat{AMB}$ và $MA^{2}+MC^{2}-AC^{2}=2MA.MC.cos\widehat{AMC}$
c. $MA^{2}=\frac{2(AB^{2}+AC^{2})-BC^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).
Bài Làm:
a. Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC} = 180^{o}$ (hai góc bù nhau)
Suy ra: $cos\widehat{AMB}= -cos\widehat{AMC}$
Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$
b.
- Áp dụng định lí cosin cho tam giác AMB có: $AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}-2MA.MB.cos\widehat{AMB}$
Hay: $MA^{2}+MB^{2}-AB^{2}=2MA.MB.cos\widehat{AMB}$
- Áp dụng định lí cosin cho tam giác AMC có: $MA^{2}=\frac{2(AB^{2}+AC^{2})-BC^{2}}{4}$
$AC^{2}=MA^{2}+MC^{2}-2MA.MC.cos\widehat{AMC}$
Hay: $MA^{2}+MC^{2}-AC^{2}=2MA.MC.cos\widehat{AMC}$
c. Không mất tính tổng quát, giả sử AB < AC.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
Ta có: $MA^{2}=AH^{2}+HM^{2}=AB^{2}-BH^{2}+(\frac{BC}{2}-BH)^{2}\\
=AB^{2}+\frac{BC^{2}}{4}-BC.BH$ (1)
tương tự ta có: $MA^{2}=AC^{2}+\frac{BC^{2}}{4}-BC.CH$ (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:
