Bài tập 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:
a. $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =1$
b. $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha } (\alpha \neq 90^{o})$
c. $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } (0^{o}<\alpha<180^{o})$
Bài Làm:
a. Trên nửa đường tròn đơn vị như hình ta xét: góc $\widehat{xOM}= \alpha$, gọi N và P lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy thì sin$\alpha$ = OP và cos$\alpha$ = ON.
Ta chứng minh: OP2 + ON2 =1
Thật vậy:
Do $\Delta PMO=\Delta NOM$ nên OP = MN.
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác NOM ta có: MN2 + ON2 = OM2 =1.
Suy ra: OP2 + ON2 =1
Vậy $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =1$
b. Xét vế trái $1+tan^{2}\alpha = 1 + \frac{ sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }= \frac{ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha } = \frac{1}{cos^{2}\alpha } $
Vậy $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha } (\alpha \neq 90^{o})$
c. Xét vế trái $1+cot^{2}\alpha = 1 + \frac{ cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }= \frac{ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha } = \frac{1}{sin^{2}\alpha } $
Vậy $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } (0^{o}<\alpha<180^{o})$