Bài tập 8. Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B=4, A D=6$, $\widehat{B A D}=60^{\circ}$ (Hình 74).
a. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A C}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$.
b. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A C}$
c. Tính độ dài các đường chéo $B D, A C$.
Bài Làm:
a. Áp dụng quy tắc hình bình hành:
- $\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
- $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
b.
- $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=4 \cdot 6 \cdot cos60^{\circ}=12$
- $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B} \cdot (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+(\overrightarrow{A B})^2=12+16=28$
$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A C}=(\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AD})^2+(\overrightarrow{AB})^2$
$=4^2+6^2=52$
c. Áp dụng định lí côsin:
- $AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos120^{\circ}}=\sqrt{76}$
- $BD=\sqrt{AB^2+AD^2-2.AB.AD.cos60^{\circ}}=\sqrt{28}$